np problems

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说明:证明中都省略了**证明构造能在P内完成**

1 CLIQUE

  • 英文定义:

A clique in an undirected graph \(G=(V,E)\) is a subset \(V' \subseteq V\) of vertices, each pair of which is connected by an edge in E.

  • 中文定义: 首先,clique是无向图G中的一个子集。这个子集中的所有点在G中是两两相连的。

也就是说,clique is a complete subgraph of G.

  • CLIQUE problem: 我们定义size of clique为该子集中的顶点个数。

那么clique problem就是要找到最大的CLIQUE.

  • decision problem: 对于一个图G,是否存在size为k的clique.
  • 正式定义: CLIQUE = { \(\): G is a graph containing a clique of size k}

1.1 证明CLIQUE是NP-complete

1.1.1 证明NP

对于一个图$G=(V,E)$,我们用$V' \subseteq V$来表示一个certificate。 为了验证$V'$是否是clique,我们检查每一个pair $u,v ∈ V'\(,其边\)(u,v) ∈ E$. 可以在Polynomial Time内实现。

1.1.2 证明NP-Hard

证明\(3-CNF-SAT \le_P CLIQUE\).

1.1.3 构造

对于任何一个3-CNF-SAT,设其有k个clause,每个clause有3个变量。也就是: \(\phi = (x_1 \vee x_2 \vee \neg x_3) \wedge \ldots\) 把所有的变量(允许重复)都放入G中。 对与每组中三个变量的每一个,将其与其余所有组的所有变量连接,除非他们互补(\(x\) and \(\neg x\))。

1.1.4 =>

如果$φ$有一个satisfying assignment,那么: 其中的每一组至少有一个变量是1.把这些变量全部取出来当作$V'$,这个$V'$的size是k,而且是CLIQUE。 因为$V'$中任意两个,都是不同组的,而且他们并不互补(否则他们不可能都是1),所以根据我们的构造,他们是相连的。

1.1.5 <=

如果构造出来的G确实有size为k的CLIQUE,证明$φ$可以satisfy: 该clique中的k个点两两相连,那么所有这k个点都不可能在同一组中(因为同一组的不相连)。 因为总共有k组,那么刚好每一组有一个。 我们可以将这些点都assign为1,因为他们不包含互斥的。这种assign可以让$φ$满足。

2 VERTEX-COVER

  • 英文定义:

A vertex cover of an undirected graph \(G=(V,E)\) is a subset \(V' \subseteq V\) such that if \((u,v) \in E\) then \(u \in V'\) or \(v \in V'\) or both.

  • 中文定义:vertex cover是无向图G的顶点的一个子集$V'$,使得G中任意一条边,至少有一个顶点在其中。
  • vertex cover problem: 找到这么一个满足条件的$V'$,其size最小。
  • decision problem: 决定G是否有一个size为k的vertex cover
  • 正式定义:

VERTEX-COVER={\(\): G has a vertex cover of size k}

2.1 证明NPC

2.1.1 NP:

对于certificate $V'$,我们检测1.size is k 2. G中所有edge,检测是否有点在其中。

2.1.2 reduction

CLIQUE \(\le_P\) VERTEX-COVER

2.1.3 构造:

一个CLIQUE的instance \(G(V,E)\). \(G'(V,\overline{E})\). 也就是,$G'$包含所有顶点,但是边恰好相反。 对应问题是$G'$有$|V|-k$size的vertex cover

2.1.4 =>:

G有CLIQUE of size k. 在$G'$中,我要证明任何一条边,都有顶点在$V-V'$中。 对$G'$中的任何一条边,有:它不在G中。 那么,至少有一个顶点不在$V'$中($V'$中顶点都是两两相连的)。 所以至少有一个顶点在$V-V'$中。

2.1.5 <=:

$G'$有vertex cover \(V'\) of size k. 在G中,要证明$V-V'$中的顶点两两相连。 有两个点,他们都不在$V'$中(也就是他们都在$V-V'$中), 那么他们在$G'$中就肯定不相连(如果相连,必然有至少一个在$V'$中)。 那么他们在G中肯定相连。

3 Hamiltonian-cycle

  • 英文定义: a hamiltonian cycle of an undirected graph

is a simple cycle that contains each vertex in V.

  • 中文定义: 无向图中的一条可以包含所有顶点有且仅有一次的圈。
  • problem: G是否有这么一条路径。
  • 正式定义: HAM-CYCLE={\(\): G is a hamiltonian graph(G has a ham cycle)}

3.1 证明NPC

3.1.1 NP

certificate是一条路径,直接验证这条路径是否包括所有顶点有且只有1次,并且开始点就是结束点。

3.1.2 reduction

VERTEX COVER

3.1.3 构造

现在我们有图$G=(V,E)$,有size为k的vertex cover. 对每一条边,我们设置一个Widget.如下图 15887792145_c83e588b4c_m.jpg

只能从四个角进出。这样的话,为了遍历所有点,那么进出的方式只能是下面两种。

15700237978_576f557c45_n.jpg

第一种边 就是widget中包含的边,每个14条。

第二种边

对于每一个widget,$Wuv$,我们找到所有u相连的边,并把他们随意排序。 将第i个(\(W_{ui}\))的左下角的和第i+1个的左上角连起来。 如果是$Wvu\(,一样,变成右上角和右下角。 也就是,将\)[u,ui,6],[u,u(i+1),1]$连起来。

用下面的图作为示范(图中应为yx,yw)

15700565650_af08a88700_m.jpg

添加的边为

15701847019_4f4e8bffe0_n.jpg

第三种边

现在再添加k个点,这些点每个都和这种点连起来: 在上一步已经排序好的路径中,第一个点的1和最后一个点的6.

15265699974_503cb70323_n.jpg

3.1.4 =>:

已知G有k的vertex cover,怎么证明$G'$有ham cycle.

因为有k个s,所以每个可以对应一个vertex cover。 从第一个s出发,到第一个vertex cover的点,然后沿着路径一路走下来,最后到第二个s。 然后再到第二个vertex cover,以此类推。

每次走一个widget时可以有两条路,一个是走完,一个是走全部。 如果对面的节点不是vertex cover点的话,走完。 如果对面也是,那么走一半,剩下一半给他走。

既然vertex cover可以cover所有的边,那么我们也走完了所有的点。

3.1.5 <=:

已知$G'$有ham cycle,怎么证明G有k的vertex cover.

我们证明在这个cycle中,任何一个从s出来的直接相连的点,这k个构成vertex cover。

因为每一个widget只有两种走法,且如果s从u进入,那么后面所有的widget都是$Wux$或者$Wxu$。 走完回到一个s。 总共只有k个路径,因为就k个s。 每个widget都会被走过,所以一定是和那条路径的u相邻。 所以这k个u就cover了所有路径。

4 Traveling salesman problem

  • 英文定义: Salesman wants to make a ham cycle among cities.

for city i and j, the cost of i to j is c(i,j) nonnegative. He wants to make the cost minimum.

  • 中文定义:城市是两两相连的。每条边加权,做一个ham cycle,使总cost最小。
  • decision problem:

<G,c,k>: G is graph, c is cost function, G has a traveling salesman tour with cost at most k.

4.1 证明NPC

4.1.1 NP

4.1.2 Deduction: Hamiltonian Cycle

4.1.3 构造

对于一个ham cycle问题\(G=(V,E)\),使用同样的图当作TSP,只不过将其所有边都连上. 构造c:c(i,j)= 0 if \((i,j) \in E\) and 1 otherwise. k=0.

4.1.4 =>:

如果ham cycle有解,那么这条路全是0,则TSP显然有解。

4.1.5 <=:

如果TSP有0解,那么这条0解上的所有路都是0. 那么所有的边都在G中。那么该路径也是G的ham cycle。

5 Subset sum problem

  • 英文定义: we are given a finite set S of positive integers and an integer target t>0.

We ask whether there exists a subset \(S' \subseteq S\) whose sum is t.

  • 中文定义:给定一个整数集S和一个目标t,S中是否存在一个子集其sum为t。
  • 正式定义:

SUBSET-SUM={\(\): there exists a subset \(S' \subseteq S\) such that \(t=\sum_{s\in S'} s}\).

5.1 证明NPC

5.1.1 NP

5.1.2 reduction: 3-CNF-SAT

5.1.3 构造

假设总共有n个$xi$,总共有k个clause:\(C_i\).

有这么两个假设。没有任何clause包含一对相反的变量,如\(x\) and \(\neg x\). 因为这么一个clause一定是1,所以无所谓。 第二个假设是每个变量都至少出现在一个clause里。 因为如果这个变量没有出现在任何clause里,那么他是什么也无所谓了。

对每一个x,搞2个值v。每个C搞两个值s. 下图中是用10进制表示,最右边是最低位。 只有右上角一块是变的,原则是:如果C中有$xi$,那么$vi$相应位置1.否则置0.$v'$刚好相反。

15886319881_0bc44428a3_n.jpg

5.1.4 =>

已知3-CNF-SAT有解,证明Subset sum有解。

我们有一个assignment for x that make 3-CNF-SAT satisfies. 对于这个assignment,如果\(x_i=1\), 那么将$vi$包含进去,不包含$v'i$。 这样,前几位都是1,满足t。 后面几位,对每一位,不可能全是0,那样的话这个Clause就是0了。 所以后面几位相加是1-3. 然后从s中选出能匹配为4的。

5.1.5 <=

已知subset sum有解,证明3-CNF-SAT有解。

subset sum的那个子集中,包含的v肯定是不会同时有$vi$和$v'i$。 如果有$vi$,那么assignment $xi$为1,否则为0. 我们证明这个assignment能使3-CNF-SAT满足。

如果$Ci$对应的v都是0,那么那一位就不能构成4了,这不可能,所以C至少有一个对应的v是1. 这个v也保证了该C是为1的。 所有C都是1了,所以就satisfies了。

Author: Hebi Li

Created: 2017-03-27 Mon 14:36

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